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Geometria Analítica - Cônicas

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Equações

   Vamos considerar os seguintes casos:

a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal

   Sendo c a semidistância focal, os focos da elipse são F₁(-c, 0) e F₂(c, 0):

   Aplicando a definição de elipse , obtemos a equação da elipse:

b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical

   Nessas condições, a equação da elipse é:

Hipérbole

   Considerando, num plano , dois pontos distintos, F₁ e F₂ , e sendo 2a um número real menor que a distância entre F₁ e F₂ , chamamos de hipérbole o conjunto dos pontos do plano  tais que o módulo da diferença das distâncias desses pontos a F₁ e F₂ seja sempre igual a 2a.

   Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F₁F₂ = 2c, temos:

A figura obtida é uma hipérbole.Observação:Os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice:

''- Cônicas -''

 Cônicas

Elipse

   Considerando, num plano , dois pontos distintos, F₁ e F₂ , e sendo 2a um número real maior que a distância entre F₁ e F₂, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano   tais que a soma das distâncias desses pontos a F₁ e F₂ seja sempre igual a 2a.

   Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F₁ e F₂ pontos de um mesmo plano e F₁F₂ < 2a, temos:

   A figura obtida é uma elipse.

Observações:

1ª) A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do sol, que é um dos focos dessa trajetória.

     A lua em torno da terra e os demais satélites em relação a seus respectivos planetas também apresentam esse comportamento.

2ª) O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Sol como um dos focos.

3ª) As elipses são chamadas cônicas porque ficam configuradas pelo corte feito em um cone circular reto por um plano oblíquo em relação à sua base.

Elementos

    Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:

• focos : os pontos F₁ e F₂ 
• centro: o ponto O, que é o ponto médio de 
• semi-eixo maior: a
• semi-eixo menor: b
• semidistância focal: c
• vértices: os pontos A₁, A₂, B₁, B₂
• eixo maior: 
• eixo menor:
• distância focal: 

Relação fundamental

    Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo OF₂B₂ , retângulo em O, podemos escrever a seguinte relação fundamental:

a2 =b2 + c2

Excentricidade

    Chamamos de excentricidade o número real e tal que:

    Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, conseqüentemente, 0 < e < 1.

Observação:Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito pequeno, a elipse se aproxima de uma circunferência